A3. Nombres remarquables
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Q1 Pour les valeurs respectives de k = 2, 3 et 4, existe-t-il un entier dont les cinq chiffres sont distincts et différents de zéro tel que l’entier lui-même et les entiers obtenus par permutation circulaire(1) de ses chiffres sont divisibles par un même entier à k chiffres ?
Q2 Dénombrer les entiers n à sept chiffres ≥ 106 tels que pour chacun d’eux il existe un entier à quatre chiffres qui divise n et les entiers obtenus par permutation circulaire(1) des chiffres de n.
Q3 Trouver le plus petit entier de neuf chiffres ≥108 dont aucun chiffre n’est égal à zéro et deux chiffres au moins sont distincts tel que l’entier lui-même et les huit entiers obtenus par permutation circulaire(1) de ses chiffres sont divisibles par un même entier à six chiffres. Existe-t-il une solution si le diviseur est un entier à cinq chiffres ?
(1)Nota 1er exemple : n = 17492, les quatre entiers obtenus par permutation circulaire sont 74921,49217,92174 et 21749 2ème exemple : n = 5003, les trois entiers obtenus par permutation circulaire sont 0035 = 35, 0350 = 350 et 3500.
Pierre-Henri Palmade, Claude Felloneau, Maurice Bauval, Daniel Collignon, Thérèse Eveilleau, Gaston Parrour, Francesco Franzosi, Bruno Grebille, Pierre Leteurtre, Nicolas Petroff, Jean Moreau de Saint Martin, Antoine Verroken, Bernard Vignes et Maxime Cuenot ont résolu tout ou partie du problème.
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