Problème proposé par Bernard Vignes

Pour un nombre premier p > 2 et un entier k ≥ 0 fixés à l’avance, on recherche le plus petit entier naturel n(p,k) tel que la somme des chiffres de n(p,k) et la somme des chiffres de n(p,k) + 10^k sont divisibles par p. Quand il existe, cet entier est appelé « délicieux ».

Q₁ Déterminer les valeurs de p pour lesquelles quel que soit k on sait trouver des entiers délicieux.

Q₂ Pour un entier k fixé à l’avance, on recherche sur l’ensemble des valeurs possibles de p l’entier « k-succulent » qui est  le plus petit des entiers délicieux n(p,k). Est-il vrai que quel que soit k, les entiers k-succulents s’obtiennent avec une même valeur de p ?