David Amar,Maurice Bauval,Raymond Bloch,Michel Boulant,Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau,Claude Felloneau,Francesco Franzosi,Marie-Nicole Gras,David Hersant,Pierre Leteurtre,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Pierrick Verdier,Emmanuel Vuillemenot ont résolu le problème.

Plusieurs lecteurs nous ont interrogé avec pertinence sur l'intérêt de la question pour les plus courageux dès lors qu'il leur a suffi de reprendre la réponse donnée à la première question.
Le problème est censé être résolu à la main dans les conditions d'un concours ou d'une compétition comme celles organisées par la Fdération Française de Jeux Mathématiques (FFJM) c'est à dire sans la possibilité d'accéder à Internet et d'utiliser un quelconque automate programmable. C'est pourquoi  l'icône 'ordinateur' qui accompagne le titre du problème n'a pas été mentionné.
La démonstration  simple qui justifie que l'on commence par 2024 est la suivante:
On multiplie les entiers impairs de 1001 à 1999 au nombre de 500 et chacun d'eux est < 2000.Leur produit P est < 2000^{^500}<100^{^100}*10^{^1500}=10^{^1700}.
L'entier 2024 est supérieur à 1700. Le nombre recherché N sera donc de la forme 10^k*P + 1000 avec un entier k tel que le nombre total de chiffres = 2024. L'existence de N est bien démontré.
La résolution de la question pour les plus courageux avec le seuil du nombre de chiffres ramené à 850 passe par l'estimation aussi précise que possible du nombre de chiffres de la primorielle P de 997 (168 nombres premiers dont on peut estimer à la main le nombre de chiffres de leur produit aux alentours de 420) et l'entier 2500P² + 100P qui a au plus 850 chiffres répond à la question.