Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A4. Equations diophantiennes A445. Les quatre familles
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Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
| A445. Les quatre familles |
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| A4. Equations diophantiennes |
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Problème proposé par Jean Drabbe
Quatre familles composées chacune de quatre personnes constatent qu'elles ont toutes la même somme des âges de leurs membres (âges exprimés en nombres entiers), la même somme des carrés de leurs âges et la même somme des cubes des âges. De plus, les seize personnes concernées ont toutes des âges distincts entre eux. Quels sont les âges dans chacune des familles ? Une des nombreuses solutions est : 0 23 24 47 - 2 14 33 45 - 3 12 35 44 - 5 9 38 42 Dans cette solution, pour chacune des familles, la somme des âges minimum et maximum est égale à la somme des âges intermédiaires (0 + 47 = 23 +24 ,2 + 45 = 14 + 33 , 3 + 44 = 12 + 35 , 5 + 42 = 9 + 38). Nous dirons que cette solution est symétrique. Une solution est dite primitive si et seulement si 0 y apparaît et le PGCD des seize âges est 1.
1) Existe-t-il une infinité de solutions primitives (on n'impose aucune borne supérieure aux âges) ? 2) Existe-t-il une solution non symétrique ? |
