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A. Arithmétique et algèbre

A4. Equations diophantiennes

A434. La garde du palais

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A434. La garde du palais

A4. Equations diophantiennes

Le sultan d'Oman Abdullah est sollicité par son grand argentier pour payer la solde de la garde du palais qui chaque matin se rassemble en carré dans la cour centrale.

Le sultan est riche mais pingre. Il se souvient que la série harmonique est divergente et il décide de débloquer la somme S (nombre entier de riads) le 1 er jour, S/2 le 2 ème jour, S/3 le 3 ème jour,?.,S/k le k ème jour,?..Il a ainsi la certitude qu'un jour ou l'autre, le cumul des sommes débloquées satisfera son grand argentier. Plus d'une semaine se passe.

Le grand argentier commence à perdre patience mais un beau jour, le versement de la solde peut enfin être effectué. Chaque soldat perçoit exactement 8431 riads.

Combien y a-t-il de soldats dans la garde du palais ?

Solution

Jean Moreau de Saint Martin et Daniel Collignon ont résolu le problème.

A noter que ce problème est une application du théorème de Wolstenhome selon lequel si p est nombre premier > 3 et que écrit sous forme d'une fraction irréductible A/B, alors p² divise A.

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