Daniel Collignon et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème :

Daniel Collignon :

A chaque partie une personne perd et quitte le jeu.

Au départ tout le monde disposant de S, le capital total est donc de NS.

A l'issue des N-1 parties, la banque encaisse (N + N-1 + ... + 2)M = [N(N+1)/2 - 1]M.

Diophante empoche donc le reste, soit NS - [N(N+1)/2 - 1]M.

Avec 2S à la place de S, cette somme serait 4 fois plus grande, c'est-à-dire que :

2NS - [N(N+1)/2 - 1]M = 4{ NS - [N(N+1)/2 - 1]M}.

Sachant que S = kM, cette équation est équivalente à 3N^2 - N(4k-3) - 6 = 0

Son discriminant vaut D = (4k-3)^2 + 72 = d^2, d'où N = (4k-3+d)/6.

Il s'agit donc de résoudre d^2 - (4k-3)^2 = (d-4k+3)(d+4k-3) = 72.

Sachant que les deux facteurs ont la même parité et que celui de gauche est inférieur à celui de droite, cela laisse trois possibilités 2*36, 4*18 ou 6*12.

Seule la première fournit une solution entière pour k, à savoir k=5 et donc N=6, Diophante empoche donc 10M et la banque 20M.

Donc 5 amis accompagnaient Diophante.

Au début, les 6 personnes avaient donc 5M, soit 4M après la mise à la banque.

Les 5 gagnants empochent 4M/5, et donc disposent de 24M/5 en début de deuxième partie, soit 19M/5 après la mise à la banque.

Les 4 gagnants empochent 19M/20, et donc disposent de 19M/4 en début de troisième partie, soit 15M/4 après la mise à la banque.

Les 3 gagnants empochent 5M/4, et donc disposent de 5M en début de quatrième partie, soit 4M après la mise à la banque.

Les 2 gagnants empochent 2M, et donc disposent de 6M en début de cinquième partie, soit 5M après la mise à la banque.

Le gagnant (Diophante) empoche 5M, et donc dispose de 10M en fin de jeu.

Pour que les sommes dont il est question soient entières, M doit être un multiple de 20.

D'où la plus petite solution avec M=20 et S=100.

Pierre Henri Palmade :

Au départ, il y a N joueurs, chacun ayant en poche pM euros, soit pMN au total. Les mises du premier tour sont MN, du deuxième M(N-1),... jusqu'au (N-1)ième où les mises sont 2M. Le total des mises est donc

M(2+...+N)=M(N(N+1)-2)/2. Le gagnant remporte donc le total des sommes de départ moins les mises, soit pMN-M(N^2+N-2)/2 soit M(Np-(N-1)(N+2)/2). Or ce gain doit quadrupler si p est doublé donc

2Np-(N-1)(N+2)/2=4(Np-(N-1)(N+2)/2) soit 4Np=3(N-1)(N+2). N est premier avec N-1, et ne peut avoir en commun avec N+2 que le facteur 2.

Par ailleurs N est strictement supérieur à 2, puisque Diophante se rend au casino avec plusieurs amis. Donc N ne peut être divisible que par 2 ou 3; 1 et 2 sont exclus, 3 ne convient pas puisque 3(N-1)(N+2) n'est pas divisible par 4. Donc on ne peut avoir que N=6, donc p=5. Pour la répartition du solde du premier perdant (p-1)M=4M doit être divisible par N-1=5, donc M divisible par 5. Le solde du deuxième perdant est alorsM((p-1)N/(N-1)-1)=19M/5 et doit être divisible par N-2=4 ce qui suppose que M est divisible par 4.

De même, le solde du troisième perdant est 75M/20 et doit être divisible par 3, ce qui est bien le cas si M est divisible par 4 et 5 (donc par 20)

Enfin le solde du quatrième perdant est 4M, qui est bien divisible par 2.

La solution minimale est donc N=6, p=5, M=20 et S=100