Sept enfants désignés par les lettres A, B, C, D, E, F et G s'installent sur la circonférence d'un cercle de centre O pour jouer au jeu du ballon chaud (voir nota 1). Comme ce sont des fans du club « Diophante en herbe », ils décident que parmi les 21 distances qui les séparent, plusieurs d'entre elles seront mesurées en nombre entier de pas.

C'est ainsi que :

• A et B occupent les extrémités du diamètre 2a du cercle de centre O avec a qui est un nombre entier de pas.
• C et D sont situés à une distance a de A respectivement à sa gauche et à sa droite.
• E se place sur la demi-circonférence supérieure du cercle entre C et B à des distances respectives b de B, c de C et d de D qui s'expriment toutes trois en nombres entiers de pas.
• F le petit frère de D souhaite rester très proche de lui. C'est pourquoi, il se met sur le cercle à la distance a+1 de A.
• Enfin G s'intercale sur la demi-circonférence inférieure entre F et B de telle sorte que les distances e et f qui le séparent respectivement de F et de B sont également des entiers avec e<f.

Quel est le rayon a du plus petit cercle autour duquel les enfants vont pratiquer leur jeu du ballon chaud ? Quelles sont les valeurs correspondantes de b, c, d, e et f ?

Nota : (1) Les joueurs se placent en cercle. Les enfants se renvoient le ballon les uns aux autres. Le joueur qui fait tomber le ballon est éliminé, le gagnant est le dernier joueur restant en jeu?

(2) Si certains lecteurs utilisent une méthode qui fait appel aux équations de Pell, ils trouveront sur le site de Dario Alpern : http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM une table de calcul fort bien conçue qui leur permettra d'obtenir immédiatement les solutions de l'équation proposée.

A466-De bons placements pour le jeu du ballon chaud