Des pirates d’âges tous différents se répartissent en quatre groupes d’effectifs identiques pour récupérer p pièces d’or enfouies dans l’Ile au Trésor. Pour la répartition du butin, ils se regroupent et conviennent des règles suivantes :

-Ils se mettent tous sur une seule rangée par ordre décroissant d’âge, le doyen occupant la première position 1 jusqu’au plus jeune qui occupe la dernière position.
-Initialement le doyen a entre les mains les p pièces d’or. Quand le plus âgé de deux pirates placés côte à côte détient 2 pièces (ou plus) de plus que son voisin, il donne une pièce à ce dernier.
-Quand il n’y a plus de mouvement de pièces possible, la répartition des pièces se fait selon la configuration finale.

Ils opèrent selon ces règles mais plusieurs pirates parmi les plus jeunes contestent la configuration finale, arguant qu’elle dépend de l’ordre dans lequel se sont effectués les mouvements intermédiaires de pièces.

Q₁ Démontrer que les contestataires ont tort et que la configuration finale est unique.

Q₂ Deux pirates se retrouvent avec le même nombre de pièces et le produit des numéros de leur position dans la rangée est égal au nombre total de pièces. Trouver n et p.