Problème proposé par Patrick Gordon

Quatre amis Alice, Bernard, Caroline et Daniel décident de se rendre au Caesars Palace de Las Vegas pour passer la soirée devant les bandits manchots de ce célèbre casino.
Q₁ Ils vont dans une première salle où n machines sont alignées à intervalles réguliers. Ils décident que chacun ira s'installer devant un bandit manchot de sorte que leurs positions définies par quatre points sur une même droite sont en division harmonique.Comme ils sont polars, ils calculent que compte tenu des permutations qu'ils peuvent effectuer entre eux devant quatre machines bien déterminées, le nombre total de configurations distinctes possibles est égal à 384. Calculer n.
Q₂ Dans une deuxième salle, le nombre k de bandits manchots (toujours alignés à intervalles réguliers) est un carré parfait. Alice décide de s'installer devant la machine n°1 et Daniel devant la machine n°k. Démontrer que lorsque k est un carré parfait strictement supérieur à un carré parfait k_0² que l’on déterminera,Bernard et Caroline peuvent se placer au moins de deux manières différentes,chacun devant une machine,de sorte que les quatre amis forment toujours une division harmonique.
Application numérique: Bernard est devant la machine n°23. Déterminer k et le numéro de la machine devant laquelle s'installe Caroline.