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A. Arithmétique et algèbre

A4. Equations diophantiennes

A4901. Jeux de bascule

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A4. Equations diophantiennes

Q₁ Zig écrit une suite croissante S₁ de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S₁.
Q₂ Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S₂ des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S₂ sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc....Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc.....
a) n est un carré parfait, n = p². Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d'un automate
Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.

Solution

Par ordre alphabétique