Jean Moreau de Saint Martin a traité le problème en obtenant les résultats suivants: 1) quand n est le carré d'un entier de la forme 6m +/-1, le nombre de suites est fini non nul et dans les autres cas ce nombre est nul. 2) quand n n'est pas un carré, le nombre de suites est soit nul soit infini.
De son côté Jean Drabbe mentionne deux articles parus dans The American Mathematical Monthly (auteurs : L.Beeckmans et  M.Laub,L.Lossers et L.Mattics) qui confirment le premier résultat et ajoute qu'une solution globale générale du problème n'est pas encore connue.
Comme le fait remarquer Dominique Roux, on peut répondre à la question posée au cas par cas avec un algorithme qui ne réclame qu'un nombre fini de calculs et qui repose sur l'étude des équations de Pell-Fermat et sur un théorème de Nagell qui donne des bornes aux solutions de l'équation généralisée. Une bonne présentation se trouve dans l'ouvrage "Fondamental Number Theory" de R.Mollin (CRC press 1998) pages 298 à 301.
Deux liens mentionnés par Jean Drabbe et Paul Voyer fournissent un éclairage intéressant du problème:http://www.thomasoandrews.com/math/squares.html et https://oeis.org/A001032.