Diophante a une belle collection de 64 cravates mais comme il est désordonné, elles sont dispersées dans sept tiroirs différents de la manière suivante : 3, 13, 1, 14, 9, 5 et 19. Il souhaite les réunir dans un seul et même tiroir en s'imposant la règle suivante : si les tiroirs A et B contiennent respectivement a et b cravates avec a b>0, il peut transférer b cravates du tiroir A vers le tiroir B. A contient alors a ? b cravates et B en contient désormais 2b.

Montrer que Diophante peut parvenir à ranger toutes ses cravates dans un seul tiroir en un nombre fini de manipulations. Peut-il encore y parvenir en se fixant a priori le numéro du tiroir où doivent se retrouver toutes les cravates, le 7 ème par exemple ?

Généralisation : Diophante dispose d'une collection de 2ⁿ cravates rangées dans k tiroirs ( n et k entiers naturels quelconques).Chacun d'eux en possède au moins une. En s'imposant la règle précédente, Diophante peut-il réunir toutes les cravates dans un seul et même tiroir en un nombre fini de manipulations ? Y parvient-il en se fixant a priori le numéro j du tiroir où seront rangées toutes les cravates.