Le premier problème est suggéré par Fabien Gigante

Problème n°1
On écrit sur une bande de papier infinie les puissances de 2 à la suite et sans séparation (1248163264128256...).Montrer qu'une suite quelconque finie de chiffres (les n premières décimales de pi, un chiffrement de la Bible...) se retrouve nécessairement écrite quelque part sur cette bande de papier.

Problème n°2
Montrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que  n est égal au nombre de même longueur formé par les chiffres de droite de 2ⁿ.

Problème n°3
Pour quelles valeurs de l'entier k > 1,existe-t-il des puissances de 2 qui se terminent par k chiffres identiques ?