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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

A599. A la recherche du carré parfait

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A599. A la recherche du carré parfait

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

Pour tout entier n > 0, on définit f(n) = n + ent(

) ou ent(..) désigne la partie entière par défaut.
On définit la suite ai pour i = 0,1,2,... par a₀ = entier m > 0 distinct d'un carré parfait et a_k+1= f(a_k)
Q₁ Démontrer que cette suite contient au moins un carré parfait.
Q₂ Calculer en fonction de m le rang r du premier carré parfait qui apparaît dans la suite.

Applications numériques :
1) calculer r pour m = 2019.
2) déterminer a₀ = m tel que le 2019^ième terme a₂₀₁₈ est le premier carré parfait de la suite.

Solution