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A. Arithmétique et algèbre

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

A581-0,1,2,...deux infinitudes

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A581-0,1,2,...deux infinitudes

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

Soit un entier n ≥ 0. On cherche les entiers strictement positifs x tel que la somme des puissances de x d’ordre 0 à n est un carré parfait.
En d’autres termes, pour un entier n donné, on cherche les solutions en x et y entiers > 0 de l’équation
(E) : 1 + x + x² + …+ xⁿ = y²,
Q₁ Démontrer que :
- pour n = 2, (E) n’a pas de solution [*]
- pour n = 3, (E) a au moins deux solutions¹[*]
- pour n = 4, (E) a une seule solution [***]
- pour n = 5, (E) n’a pas de solution [***]
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) a au moins une solution [*]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) n’a pas de solution [***]¹ Nota : pour les plus courageux : prouver qu’il y a exactement deux solutions [*****]