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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

A5916. Des puissances tous azimuts

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A5916. Des puissances tous azimuts

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

On s’intéresse aux triplets d’entiers (p,k,n) qui ont la propriété (P) suivante : le carré de la somme des k premières puissances de p : p⁰ = 1, p¹ = p, p²,….,p^k-1 est égal à la somme des n premiers cubes parfaits consécutifs, c'est-à-dire a5916a

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Q₁ Démontrer qu’il existe au moins une valeur de p > 1 telle que pour tout k ≥ 3, on sait trouver un entier n vérifiant la propriété (P). Pour cette valeur de p, déterminer toutes les valeurs possibles de n ≤ 2021.
Q₂Démontrer que pour k = 3, il existe une infinité de valeurs de p > 1 telles qu’on sait trouver un entier n vérifiant la propriété (P). Déterminer les valeurs de p pour lesquelles cet entier n est ≤ 2021.

Solution