Q₁ Puce sait-il trouver trois entiers naturels a,b et c en base 10 tels que les sommes des chiffres (sdc)  de leurs carrés sont égales respectivement à 37, 38 et 39 ? [*]
En cas de réponse positive pour l’un quelconque de ces trois entiers, Puce peut-il affirmer qu’il existe une infinité d’entiers qui ont la même sdc de leurs carrés que lui ?[**]
Qu’en est-il si les carrés de a,b,c sont écrits en base 2  et les sdc de ces carrés écrits en base 10? Même question si les carrés sont écrits en base 3 ?[***]

Q₂ Aidez Zig à trouver deux  entiers naturels consécutifs en base 10, les plus petits possibles, dans les deux cas suivants :
1^er cas : ces entiers sont  inférieurs ou égaux à 2024 et l’écart en valeur absolue entre les sdc de leurs carrés est égal à 33[**]
2^ème cas : l’écart en valeur absolue entre les sdc de leurs carrés est supérieur à 50.[**]

Nota : les deux questions Q₁ et Q₂  sont indépendantes.