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A. Arithmétique et algèbre

A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

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A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

Pour n = 2,3,….on s’intéresse à la suite S des entiers u_n > 1 , s’ils existent, qui sont les plus petits entiers non divisibles par 10 tels que la puissance n-ième de u_n est un entier commençant par u_n.
Q₁ Prouver que u₂ n’existe pas.
Q₂ Déterminer u_n pour n = 3,4,5,6,7,8,9
Q₃ Déterminer le plus petit indice n tel qu’il existe un terme u_p de S d’indice p supérieur à n avec u_p = u_n.
Q₄ Prouver qu’il y a dans S au moins une infinité dénombrable de termes identiques.
Q₅ Pour les plus courageux : est-il vrai que S contient tous les entiers naturels non divisibles par 10 ?

Solution

Joël Benoist,Pierre Henri Palmade,Patrick Kitabgi,Claude Felloneau,Gaston Parrour,Thérèse Eveilleau,Bruno Grebille,Francesco Franzosi,Daniel Collignon ont résolu les quatre premières questions.La dernière question reste ouverte.
Comme le précise Joël Benoist, il est exact que pour tout u entier ≥ 2 non divisible par 10,il existe une infinité d'entiers n ≥2 tel que uⁿcommence par u. Par contre,on ne sait pas dire si parmi ces entiers il en existe un tel que u_n = u.

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