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A6. Partages et partitions
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Problème proposé par Christian Romon
L’oncle Picsou a entassé 200 pièces en or (20 francs Napoléon) parmi lesquelles il y a une pièce fausse mais il ne sait pas laquelle. Son banquier lui propose d’examiner ces pièces de la manière suivante. L’oncle Picsou lui présente un lot de pièces. Si la pièce fausse est dans le lot, le banquier lui facture 3 €. Si la pièce fausse n’y est pas, la facture est ramenée à 2 €.
La pingrerie de l’oncle Picsou est légendaire. Comment l’aider à dépenser une somme minimale en € pour qu’il soit certain d’identifier la fausse pièce ?
Ayant retenu vos bons conseils, l’oncle Picsou sort de sa poche 2011 pièces d’argent (5 francs Semeuse) parmi lesquelles il y a une pièce fausse. Quelle sera sa dépense minimale pour repérer la pièce fausse ?
Quelles seraient les dépenses minimales pour chacun des deux tas si le banquier facture la consultation d’un lot de pièces respectivement 2 € et 1 € au lieu de 3 € et de 2 €.
Jean Moreau de Saint Martin, Jean Nicot et Michel Lafond ont résolu le problème. Les dépenses minimales avec les tas de 200 et de 2011 pièces et des facturations de 3€ et de 2€ par test effectué sont respectivement de 20€ et 29€. Elles sont ramenées à 12€ et 17€ avec des facturations de 2€ et de 1€. La résolution du problème dans le cas général fait intervenir les suites de Padovan qui sont des suites récurrentes linéaires de la même famille que les suites de Fibonacci.
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