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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A7. Problèmes de pesées

A723. La preuve par x,y,z (1er épisode)

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A723. La preuve par x,y,z (1er épisode)

A7. Problèmes de pesées

n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact d’au moins un objet avec le plus petit nombre possible de pesées faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.

Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faudrait un pesée supplémentaire pour démontrer le poids exact des deux autres objets.

Quand n est égal respectivement à 8, 54 et 2015, Zig affirme que x,y et z pesées lui suffisent.Puce toujours sceptique devant les fanfaronnades de Zig demande une preuve pour chacune des expériences. Trouver ces preuves et donner les valeurs correspondantes de x,y et z.

Pour les plus courageux :pour n quelconque,trouver une borne supérieure b(n) du nombre minimal de pesées permettant de démontrer le poids exact d'au moins l'un des n objets.

Solution

Ce problème conçu par Alexander Shapovalov a été posé aux Olympiades russes de mathématiques en 2000 pour la valeur n = 8.Tanya Khovanova,Konstantin Knop et Alexey Radul en ont fait une analyse très complète qui a paru dans le "Journal of Integer Sequences" sous le titre :Baron Münchhausen's sequence. Leur article aboutit au résultat remarquable et surprenant, selon lequel deux pesées au maximum suffisent pour identifier de manière certaine au moins l'un des poids. En d'autres termes, b(n) ≤ 2 quel que soit n.
Pour n prenant respectivement les valeurs 8,54 et 2015,on obtient les valeurs x = 1 puis y = z = 2 qui ont été trouvées par Pierre Henri Palmade,Michel Lafond et Bernard Vignes.

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