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B. Carrés et figures magiques

B133. Dürer a de la classe

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B133. Dürer a de la classe

B. Carrés et figures magiques

Problème proposé par Pierre Renfer
Le carré magique du tableau « La Mélancholie » de Dürer est :
B133

En plus d’être magique de somme 34, il possède la propriété suivante :
La somme de deux nombres symétriques par rapport au centre du carré est toujours 17.
Appelons carrés magiques de Dürer ceux qui possédent cette propriété.
Cette propriété est conservée par les huit isométies du carré et par les six transformations involutives R, S, T, R’, S’, T’ définies ainsi :
S échange les lignes 1 et 4 en conservant globalement les colonnes.
T échange les lignes 2 et 3 en conservant globalement les colonnes.
R échange les lignes 1 et 2 ainsi que les lignes 3 et 4 en conservant globalement les colonnes.
S’ échange les colonnes 1 et 4 en conservant globalement les lignes.
T’ échange les colonnes 2 et 3 en conservant globalement les lignes.
R’ échange les colonnes 1 et 2 ainsi que les colonnes 3 et 4 en conservant globalement les lignes.
Question 1
Montrer que le groupe de transformations G engendré par les huit isométries du carré et les six transformations R, S, T, R’, S’, T’ est d’ordre 128.
Question 2
On fait opérer le groupe G sur l’ensemble E des carrés magiques de Dürer qui contiennent tous les entiers de 1 à 16.
Combien existe-t-il de classes d’équivalence (ou d’orbites) ?
Donner un carré représentant pour chaque classe.