Dans chaque coup de ce jeu, on perd sa mise si on perd, on est remboursé de 2 fois la mise si on gagne.
On mise 1 euro pour commencer. La martingale consiste à miser 1 euro de plus qu'au coup précédent après un coup perdant, 1 euro de moins après un coup gagnant (sauf si on avait misé 1, auquel cas on mise 1 à nouveau). La partie s'arrête quand on a obtenu un objectif de gain fixé à l'avance, ou quand on est ruiné.
a) Le résultat de chaque coup élémentaire est tiré à pile ou face : une chance sur 2 de gagner. J'entame une partie en disposant d'une fortune F, avec l'ambition de la porter à F+G, et en utilisant la martingale. Quelle est la probabilité que j'arrive à mes fins ? C'est une affaire d'espérance !
b) J'ai commencé une partie en suivant cette martingale. J'ai subi 2 coups perdants de plus que de coups gagnants, pourtant ma fortune s'est accrue de 5 euros. Je m'apprête à miser 4 euros. Combien de coups ai-je déjà joués ?
c) (pour les plus trapus) Montrez qu'il y a 653752 déroulements possibles pour un début de partie donnant les résultats indiqués à la question précédente.


Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre et octobre 2004