Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Patrick Gordon,Daniel Collignon,Il Panurgo Italie) et Michel Lafond ont résolu le problème.Pierre Gineste,Jaime Lobo Segura(Costa Rica),Bernard Grosjean et Francisco Franzosi (Suisse) ont traité la première question.
Commentaires:
Les résultats obtenus aux deux questions [k =6 et probabilité de tirer 6 boules bleues dans un 2ème tirage = 1/C(13,6)= 1/1716]ont la particularité de ne pas dépendre du nombre de boules contenues dans l'urne (2011 en l'occurence).
Si l'on effectue un premier tirage de k boules sans remise et que l'on place ces k boules sans en regarder la couleur dans une deuxième urne,celle-ci est aussi mystérieuse que la première, c'est à dire que toutes les configurations de x boules bleues et k – x boules rouges avec 0 <= x <= k sont équiprobables, ce qui revient à écrire: Pr{ x boules bleues et k – x boules rouges dans l’urne} = 1/(k+1)· pour 0 <= x <= k et l'on obtient bien la probabilité obtenue dans Q1 à l'issue dun calcul rigoureux.
La deuxième question comporte un piège : il ne faut pas reprendre la probabilité obtenue dans Q1 avec les 6 boules bleues se substituant aux 6 rouges boules. En effet, les conditions du 2ème tirage ne sont plus du tout les mêmes qu'au 1er tirage car on a la certitude que l'urne contient au moins 6 boules rouges et on subodore que l'urne contient un bon nombre de boules rouges.Pour s'en convaincre,supposons qu'on effectue un premier tirage avec 1005 boules rouges. La probabilité d'un tel tirage est égale à 1/1006. Quelle est la probabilité de tirer 1005 boules bleues dans un deuxième tirage? On ne dira jamais 1/1006 car on aura la quasi-certitude que l'urne ne contient que des boules rouges et la probabilité de tirer 1005 boules bleues est infinitésimale (<<<11006).Il convient donc de faire intervenir des probabilités bayésiennes et le résultat final 1/C(13,6) peut s'analyser comme suit: 1/C(13,6) = 1/13*1/C(12,6)/(1/7). Au numérateur les probabilités 1/13 et 1/C(12,6) sont respectivement celle de tirer 12 boules dont 6 rouges et 6 bleues dans une urne de 2011 boules dont on ignore la composition et celle de tirer 6 boules rouges puis 6 boules bleues parmi 12. Enfin au dénominateur, on a la probabilité trouvée dans Q1 de tirer 6 boules rouges dans un premier tirage.