Ce problème est connu sous le nom de problème de Waldegrave. Il a été posé en 1713 (bientôt trois cents ans!) par Charles Waldegrave au chevalier de Montmort qui l'évoque dans son ouvrage "Essay d'analyse sur les jeux de hazard".Il a donné lieu à une abondante correspondance entre N.Bernoulli, le chevalier de Montmort,A.de Moivre,...On en trouvera un extrait dans l'ouvrage précité de de Montmort.
La solution la plus élégante de ce problème complexe est donnée par Nicholas Bernoulli qui généralise le problème avec n joueurs et trouve les formules de récurrence permettant de calculer aussi bien les probabilités de gain de chacun des joueurs que leurs espérances. Les probabilités de gain vont logiquement decrescendo à partir des deux premiers joueurs mais , résultat à permière vue paradoxal, ce sont les joueurs qui jouent les derniers qui ont des espérances de gains positives alors que les premiers joueurs ont des perspectives de perte. La durée moyenne d'un tournoi est égale à 2^n-1 - 1 = 15 pour n=5.
Pierre Henri Palmade a trouvé les probabilités de gain des cinq joueurs tandis que Pierre Renfer a trouvé la durée moyenne d'un tournoi.
Pour une réponse complète, on peut se reporter à la solution de Nicholas Bernoulli (1687-1759).
A noter une approche originale différente de celle de N. Bernoulli pour traiter la première question:
Avant le tournoi, on attribue une valeur à chacune des étiquettes portées par les cinq joueurs qui est mesurée par la probabilité de gain p_i de chacun d’eux (i = 1,2,3,4,5) avec p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ = 1. Comme A est susceptible de gagner le premier à l’issue des quatre premières Ppf avec une probabilité égale à 1/2³= 1/16, la plus grande valeur est logiquement attribuée à A. La valeur de l’étiquette de B est la même.
Supposons que les joueurs C,D et E négocient avec A pour qu’il abandonne sa priorité et accepte de se mettre en dernière position après E. Le joueur A acceptera si tous les trois réunis lui paient la somme égale à 1/16*(p₃ +p₄ +p₅). Comme A et B ont les mêmes chances de gain, B n’a rien à débourser. Donc si A passe au dernier rang, les autres joueurs C,D et E montent d’un cran. Comme C paie p₃/16, on a donc p₂ = p₃ + p₃/16 D’où p₃ = 16p₂/17 . Le même raisonnement avec D et E conduit à p₄ = 16p₃/17 et p₅ = 16p₄/17 avec p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ = 1.
Enfin il est intéressant de mentionner les simulations réalisées sur ordinateur par trois lecteurs Régis Schoonheere,Philippe Laugerat et Frédéric Chevallier.Effectuées sur la base de plusieurs centaines de millions de parties, elles corroborent remarquablement les résultats théoriques.