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G168. Des dés et leurs modulos

G1. Calcul des probabilités

Je dispose de trois dés identiques. J’appelle S la suite ordonnée de six nombres entiers ? 1 pas nécessairement distincts qui sont inscrits sur les six faces de chaque dé. Je lance simultanément les trois dés et je note la somme s des résultats obtenus.
Q₁ - Existe-t-il une suite S telle que s est divisible par 3 en moyenne une fois sur cinq ou en d’autres termes Pr{s = 0 modulo 3} = 1/5 ?
Q₂ - Existe-t-il une suite S telle que s est divisible par 4 en moyenne une fois sur neuf ou en d’autres termes Pr{s = 0 modulo 4} = 1/9 ?
Q₃ - Après un très grand nombre de lancers, je constate que s est en moyenne divisible par 3 une fois sur quatre et divisible par 4 quatre fois sur neuf. Sachant que la somme des numéros sur les faces est inférieure ou égale à 21, en déduire S.

Solution