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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G145. Le club des cinq Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités

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G145 – Le club des cinq [***** à la main]

Diophante invite Alexandre, Béatrice,Charles,Delphine, Ernest à choisir une séquence de 4 lettres constituée avec les deux seules lettres N (comme Noire) et R (comme Rouge).

Leur choix est le suivant : Alexandre :RNNR, Béatrice :NNRN, Charles :NRNR, Delphine : RNRR et Ernest :RRNN

Diophante dispose d’un mélangeur d’un jeu de 52 cartes, tire une carte dont il annonce la couleur : Noire (Pique et Trèfle) ou Rouge (Coeur et Careeau) puis la remet dans le mélangeur.
Il continue les tirages et prononce ainsi une suite du type R,R,N,R,N,N,R,N,N,N,R.... Le joueur dont la séquence coïncide avec quatre tirages successifs lève la main.
C’est, par exemple, le cas d’Alexandre avec les quatre tirages en caractères italiques.

Q1 Calculer les probabilités respectives que chacun des cinq joueurs lève la main à l’issue du tirage des quatre premières cartes.

Q2 Le temps d’attente moyen d’un joueur J est le nombre moyen de cartes retournées par Diophante pour que le joueur J lève la main.Démontrer que parmi les cinq joueurs il y a un joueur X dont le temps d’attente est le plus court.

Q3 Diophante oppose le joueur X identifié dans Q2 aux autres joueurs dans quatre duels successifs. Dans chaque duel qui oppose deux joueurs les trois autres joueurs sont observateurs. Le premier joueur qui lève la main est déclaré vainqueur. Démontrer que paradoxalement il y a un joueur Y qui a une probabilité > 0.5 d’être vainqueur de X.

Q4 Diophante organise les duels successifs Alexandre-Béatrice, Béatrice-Charles, Charles-Delphine, Delphine-Ernest et Ernest-Alexandre. Déterminer pour chaque duel les probabilités respectives de gain des joueurs..Quelle conclusion en tirer ? Calculer la probabilité que les cinq vainqueurs aient des prénoms tous différents.

Q5 Diophante propose enfin le tournoi de dix duels au cours desquels chaque joueur est opposé à tous les autres joueurs.Chaque victoire dans un duel rapporte un point.Déterminer le joueur dont l’espérance mathématique de gain est la plus élevée ?

Question subsidiaire pour les plus courageux
On suppose que Diophante n'utilise plus le mélangeur de cartes et effectue un tirage exhaustif des 52 cartes,
Quelle est la réponse à la question Q1? S'agissant des réponses aux questions Q2 à Q5, des simulations faites sur un automate permettront de dire si oui ou non on tire  les mêmes conclusions que précédemment.

Solution

Ce problème est une illustration du paradoxe de W. Penney(1) observé quand on lance une pièce de monnaie supposée parfaite autant de fois qu'il le faut jusqu'à obtenir des séquences de piles (P) ou faces (F) fixées à l'avance. Le plus souvent ce paradoxe est analysé avec des séquences de longueur 3 telles que FFP ou PFP. Dans ce problème, les séquences sont de longueur 4.
Les lancers successifs de la pièce de monnaie font apparaître plusieurs paradoxes:
- les temps moyens d'attente des différentes séquences d'une longueur donnée sont variables. Ainsi la séquence S1=PFPF a un temps d'attente de 20 alors que S2 = FPFF a un temps d'attente de 18,
- il est possible qu'une séquence S  dont le temps moyen d'attente est supérieur à celui d'une séquence S' arrive avant cette dernière quand on les fait concourir l'une contre l'autre,
- il est possible que dans des compétitions deux à deux, on obtienne des cycles du type S bat S' qui bat S'' qui bat S''' qui bat S,
- une séquence de longueur k peut perdre dans une compétition qui l'oppose à une séquence de longueur k'>k.
etc...
Le mathématicien John Conway a conçu un algorithme "magique" d'usage très simple qui donne les temps moyens d'attente d'une séquence fixée de longueur quelconque ainsi que les résultats des confrontations entre deux séquences en termes de probabilités de gain/perte.

pdfJean Moreau de Saint Martin a traité le problème en faisant appel aux fonctions génératrices de chacun des joueurs et aux probabilités de transition avant de donner la démonstration du fonctionnement de l'algorithme magique dont l'auteur lui-même n'a jamais diffusé la preuve...
pdfFrancesco Franzosi et pdfPatrick Gordon ont résolu le problème avec l'aide de  l'algorithme "magique" de J. Conway.
De son côté Pierre Henri Palmade a désigné les noms des joueurs X,Y,..dans les questions Q2,Q3 et Q5 et a fait ressortir la non transitivité des relations de Q4.

La question subsidiaire pour les courageux fait l'objet du problème G158- Les cinq prolongent la partie proposé par Jean Moreau de Saint-Martin.

(1) On lira avec intérêt l'article de Jean-Paul Delahaye intitulé Les surpises du jeu de pile ou face.
 
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