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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

G. Probabilités

G1. Calcul des probabilités

G184. Alea jacta est

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G184. Alea jacta est

G1. Calcul des probabilités

Puce teste sur son vieux PC la fonction Alea() qui permet de générer des nombres aléatoires sur un intervalle donné. Ayant choisi deux entiers a et b avec a multiple de b (a = kb, k > 1), ,il souhaite estimer Pr{XY ≤ b²}, c'est-à-dire la probabilité que le produit de deux variables aléatoires réelles indépendantes X et Y choisies au hasard sur l’intervalle [0,a], soit inférieur ou égal à b². Pour ce faire, dans une boucle « for...next » comportant un million d’itérations, il recense le nombre de fois N que le produit de deux nombres générés à partir de la fonction Alea() sur cet intervalle [0,a] est inférieur ou égal à b². Il obtient
N = 596489.
Q₁ Déterminez l’entier k.
Q₂ Puce choisit les deux variables indépendantes X et Y sur l’intervalle [0,2a] et garde le même seuil b². Toujours avec un million d’itérations, déterminez un intervalle de confiance (ave un seuil de 95%) à l’intérieur duquel l’estimation de Pr{XY ≤ b²} doit logiquement s’afficher sur l’écran de son ordinateur.
Q₃ Puce introduit une nouvelle variable Z telle que les trois variables X,Y, et Z sont indépendantes entre elles et sont définies sur l’intervalle [0,a].Calculez Pr{ XYZ ≤ b³} et vérifiez que votre ordinateur confirme votre résultat

Solution