Les joueurs abattent simultanément chacun une carte. Le premier qui identifie le symbole commun ramasse le pli. C'est donc un jeu d'acuité visuelle et de vivacité, mais cet aspect ne nous concerne pas ici.

Les questions qui intéressent le mathématicien sont :
1 - Avec m ? 2 symboles par carte,calculer le nombre maximum de cartes qu’il est possible de fabriquer,
2 - Avec m ? 2 symboles par carte et n cartes, calculer le nombre total minimum s de symboles utilisés,
3 - Déterminer le cas optimal (m,n,s) qui combine le nombre maximum de cartes et le nombre minimum de symboles utilisés.
4 - Dans les cas optimaux,décrire explicitement pourles valeurs de m = 3,4,5 et 6  un mode de répartition des symboles selon les cartes.

Attention! On ne demande pas que le symbole commun à deux  cartes quelconques ne soit commun à aucune autre carte que ces deux-là. Ainsi, la configuration (les symboles sont remplacés par des nombres) :carte 1 :2, 4, 5…, carte 2 : 4, 6, 7…,carte 3 : 1, 4, 8… est permise.

Solution

Pierre Renfer,Jean Nicot,Jean Moreau de Saint-Martin,Bernard Vignes et Patrick Gordon ont résolu le problème et démontré que dans le cas optimal, le nombre de cartes et le nombre de symboles distincts utilisés sont égaux à m² - m + 1 , avec m = nombre de symboles figurant sur chaque carte. On lira avec intérêt la solution de Pierre Renfer qui établit une analogie avec les plans projectifs finis.

Nota : Nos lecteurs ont reconnu le jeu de société Dobble dans lequel les jeunes enfants excellent et donnent des leçons d’observation et de rapidité à leurs parents et grands parents. Chaque carte comporte 8 symboles et pour on ne sait quelle raison,le jeu comporte 55 cartes et non le nombre maximum possible de 57 (i.e. 8² - 8 + 1).