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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G2917. En rang par trois Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements

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Problème proposé par Yves Foussard

On considère les combinaisons de  neuf objets,étiquetés de A à I,pris trois par trois sans tenir compte de l'ordre.
On obtient N = C(9,3) = 84 trios à partir desquels on constitue des ensembles Ek de k trios tels que:
‒  deux trios quelconques n'ont jamais deux objets en commun1,
‒  les N ‒ k autres trios ont deux objets en commun avec l'un au moins des k trios.
Q1 Déterminer la plus petite valeur possible k1 de k. Donner un exemple des trios appartenant à Ek1.
Q2 Déterminer la plus grande valeur possible k2 de k. Donner un exemple des trios appartenant à Ek2.
Q3 Déterminer les valeurs entières de k telles qu'il existe au moins un ensemble Ek.

1Nota : par exemple si Ek contient le trio ACH, alors les trios ACX,ACY,CHZ en sont exclus quels que soient X, Y et Z choisis parmi {B,D,E,F,G,I}.

Solution

pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfFabien Gigante et pdfPatriick Gordon ont résolu tout ou partie du problème.

Les valeurs extrêmes de k sont k1 = 8 et k2 = 12.
Les valeurs intermédiaires possibles sont k = 9 et k = 10.La valeur k = 11 est impossible.
 
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