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Problèmes par thèmes G. Probabilités G2. Combinatoire - Dénombrements G2958. Dodécaphonisme
Problèmes par thèmes G. Probabilités G2. Combinatoire - Dénombrements G2958. Dodécaphonisme
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| G2958. Dodécaphonisme |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Problème proposé par Pierre Renfer
En musique dodécaphonique, on utilise comme notes les douze demi-tons de la gamme bien tempéré, à une octave près.On peut donc assimiler l’ensemble des notes au groupe Z/12Z des entiers, modulo 12. On appelle série un dodéca-uplet (a1,a2,a3,....,a12) de douze notes distinctes. Sur l’ensemble Σ des 12 ! séries, on considère les quatre transformations suivantes : Le déphasage D transforme la série (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a2,a3,....,a12,a1) La rétrogradation R transforme la série (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a12,a11,a10,....,a2,a1).(On joue la série à l’envers) La transposition T transforme (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a1 + 1,a2 + 1,a3 + 1,....,a12 + 1)(On ajoute un demi-ton à chaque note) La symétrie S transforme (a1,a2,a3,....,a12) en la série (– a1,– a2,– a3,....,– a12) On note G le groupe engendré par ces quatre transformations de Σ Question 1 Montrer que le groupe G est d’ordre 576 Question 2 On fait opérer le groupe G sur Σ. Combien obtient-on d’orbites (classes d’équivalences de séries) ? |
