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G2945. La chasse aux palindromes

G2. Combinatoire - Dénombrements

Puce trace n = 1,2,3,....points le long de la circonférence d'un cercle puis les cordes qui joignent ces points pris deux à deux de sorte que trois quelconques d’entre elles ne sont jamais concourantes en un même point.
Il recense méthodiquement pour chaque valeur de n non seulement le nombre de triangles dont les sommets se trouvent aussi bien sur la circonférence du cercle qu’aux intersections des cordes intérieures au cercle mais aussi les régions disjointes entre elles (comme les pièces d'un puzzle) qui sont délimitées par les cordes et la circonférence du cercle.
Q₁ Pour une certaine valeur de n > 4, Puce dénombre pour la première fois un nombre total de triangles qui est un palindrome. Déterminer ce palindrome.
Q₂ Puce poursuit le tracé de points supplémentaires et observe pour la première fois un nombre de régions qui est un palindrome. Déterminer ce palindrome.
Q₃ Puce ne s’arrête pas en si bon chemin et avec de nouvelles cordes. Il constate qu’avec trois valeurs consécutives de n, les nombres de triangles strictement intérieurs au cercle sont trois palindromes. Déterminer ces trois palindromes.
Q₄ Puce est pugnace. En ajoutant de nouveaux points, il observe que pour une certaine valeur de n, les triangles qui ont un seul sommet sur la circonférence du cercle sont quatre fois plus nombreux que les triangles qui en ont exactement deux. Combien de points a-t-il ajoutés ?
Q₅ Dans sa chasse aux palindromes, Puce a encore le courage de tracer quelques points supplémentaires et il en est récompensé avec un nombre palindrome de triangles inscrits dans le cercle. Déterminer ce nombre.

Solution