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D1.Géométrie plane : triangles et cercles
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Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC rectangle en C.Soit X un point variable sur la hauteur issue de C. On appelle droites vertes les deux droites joignant A aux points communs à BX et au cercle de centre A passant par C et droites bleues les deux droites joignant B aux points communs à AX et au cercle de centre B passant par C.On construit les quatre points d’intersection d’une droite verte avec une droite bleue.
Déterminer les lieux de ces quatre points quand X se déplace sur la hauteur issue de C
Source : d’après un problème d’une olympiade internationale de mathématiques
Maurice Bauval et Jean Moreau de Saint Martin ont résolu le problème et démontré que les lieux des quatre points sont constitués par quatre morceaux de deux coniques, en l'occurrence l'ellipse et l'hyperbole qui ont mêmes foyers A et B et passent l'une et l'autre par C. Ce problème est une extension du problème n°5 de l'Olympiade Internationale de Mathématiques qui s'est tenue les 11 et 12 juillet 2012 à Mar del Plata en Argentine.On trouvera dans D1947-Cousinage olympique une solution qui s'appuie sur la propriété qu'il convenait de démontrer dans l'Olympiade.
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