D1974. A partir d'une poussière (1ère partie) - D1974. A partir d'une poussière (1ère partie)...

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D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D1974. A partir d'une poussière (1ère partie)

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D1974. A partir d'une poussière (1ère partie)

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Problème proposé par Dominique Roux à partir d’un énoncé de la compétition australo-britannique « The 2013 Mathematical ashes »

On donne sur un cercle de centre O, 4 points fixes A,B,C,D,et sur la droite OD un point mobile P. La perpendiculaire en P à la droite OD coupe les droites BC , CA , AB en respectivement A' , B' , C'.
1) Monter que les cercles (PAA') , (PBB') , (PCC') ont un second point commun Q ou sont tangents en P.
2) BC recoupe le cercle (PAA') en A''. On construit de façon analogue B'' et C''
- Montrer que si P est sur le cercle (ABC) les droites AA'' , BB'' , CC'' sont parallèles.
- Montrer que si P est en O les droites AA'' , BB'' , CC'' sont concourantes en un point du cercle (ABC).
3) Montrer que de façon générale les droites AA'', BB'', CC'' ont un point commun E.

Solution

Maurice Bauval a résolu le problème.

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