Le cercle des neuf points dans le triangle dit cercle d'Euler est très connu. Voici un autre exemple d'une construction géométrique très simple de neuf points cocycliques à l'intérieur d'un rectangle.

Dans un repère orthonormé, on trace sur l'axe des abscisses Ox, les points P,Q,R,S,T d'abscisses entières 9,12,14,24 et 42. Sur la droite (L) parallèle à l'axe Ox qui coupe l'axe Oy en un point A d'ordonnée 6, on trace les points B,C,D,E,F d'abscisses entières 8,10,15,18,30. Les droites OB,OC,OD,OE et OF coupent respectivement les droites AT,AS,AR,AQ et AP en cinq points I,J,K,L,M. Montrer que ces cinq points sont sur un même cercle qui coupe l'axe Ox et la droite (L) aux sommets d'un carré. Déterminer le centre et le rayon de ce cercle.

Nota : la trigonométrie et la géométrie analytique sont fortement déconseillées.

Pour les plus courageux  qui considèrent que l'obtention de neuf points cocycliques est très banale, trouver un schéma similaire au précédent avec 25 points cocycliques à l'intérieur d'un rectangle dont les dimensions n'excèdent pas 1000.