Voici deux problèmes de géométrie posés tout récemment aux olympiades nationales 2019 de mathématiques en  Grande-Bretagne et en Chine.

Problème n°1 (Grande-Bretagne)
Soit un triangle ABC. La perpendiculaire en B au côté AB coupe  respectivement aux points D et F la hauteur issue de A et la médiatrice du côté BC. Le point D se projette en E sur le côté AC.
Démontrer que le triangle BFE est isocèle.

Problème n°2 (Chine)
On trace une triangle ABC (AB < AC), son cercle circonscrit (Γ) de centre O et la bissectrice intérieure (Δ) de l’angle en A. La parallèle passant par O à (Δ) coupe la droite [BC] au point D et la perpendiculaire en D à cette même droite [BC] coupe (Δ) en E. Le cercle de centre D et de rayon DA coupe la droite [BC] en un point P du même côté que B par rapport à D. Le cercle circonscrit au triangle AEP coupe la droite [BC] en un deuxième point Q et le cercle (Γ) en un deuxième point R.
Démontrer que la droite QR est tangente au cercle (Γ).