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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D1894-La saga des triangles X-logiques Imprimer Envoyer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

calculator_edit.png  

Problème proposé par Pierre Leteurtre

Q₁ On trace un triangle ABC et un point P du plan (strictement intérieur ou extérieur au triangle). Soient trois droites perpendiculaires aux droites [PA],[PB] et [PC]. Les perpendiculaires à [PA] et [PB] se coupent en C',les perpendiculaires à [PB] et [PC] se coupent en A' et les perpendiculaires à [PC] et [PA] se coupent en B'.
Démontrer que les droites issues respectivement de A’,B’ et C’ et perpendiculaires aux droites [BC],[CA] et [AB] sont concourantes en un point P’.

Nota : on dit alors que les triangles ABC et A’B’C’ sont orthologiques P étant  le centre d'orthologie de ABC relativement à A'B'C' et P’ le centre d'orthologie de A’B’C’ relativement à ABC.

Q2 Soit un triangle ABC et un point P du plan (strictement intérieur ou extérieur au triangle). Tracer le triangle A’B’C’ orthologique au triangle ABC de sorte que le centre P’ d’orthologie de A’B’C’ relativement à ABC soit confondu avec P.
Démontrer que les droites AA’,BB’ et CC’ sont concourantes en un point X.
Nota : on dit alors que les triangles ABC et A’B’C’ sont bilogiques et que X est le centre de perspective des triangles ABC et A’B’C’.

Q3 Soit un triangle ABC. Une droite quelconque Δ coupe les droites [BC], [CA] et [AB] en D,E et F. Les perpendiculaires en D à [BC] et en E à [CA] se coupent en C’’, les perpendiculaires en E à [CA] et en F à [AB] se coupent en A’’et les perpendiculaires en F à [AB] et en D à [BC] se coupent en B’’
Démontrer que :
-  les droites AA’’,BB’’ et CC’’ sont concourantes en un point Y.
- les cercles circonscrits aux triangles ABC et A’’B’’C’’ sont orthogonaux et leurs deux points d’intersection sont le point Y et le centre de similitude Z des deux triangles.
Nota : on dit alors que les triangles ABC et A’’B’’C’’ sont paralogiques et que le point Y est le centre de perspective des deux triangles.


Solution


pdfPierre Renfer et pdfPierre Leteurtre ont résolu le problème.

Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
 
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