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D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D1846. En lignes droites...pour le nombre pi

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D1846. En lignes droites...pour le nombre pi

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages….
Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C) habitent le long du chemin des Matheux selon le plan ci-après

d1846
Trois routes R₁,R₂ et R₃ des Platanes, des Séquoïas et des Merisiers se rencontrent au carrefour H du Hêtre pourpre tandis que la route R₂ et le chemin des Matheux sont perpendiculaires au carrefour de Leibniz (L).
D’un pas constant Alice parcourt la distance AC en 5 minutes et la distance AL + LH en 9 minutes. Cunégonde du même pas constant parcourt la distance CL + LH en 8 minutes.
A vol d’oiseau, les points A,B et C sont respectivement à égale distance des droites (R₁,R₂) , des droites (R₁,R₃) et enfin des droites (R₂,R₃ ).
Les trois amis se promènent en couple : (A&C) ou (A&B) ou (B&C) le long des côtés des trois triangles HAC ou HAB ou HBC dont les sommets sont le point H et leurs maisons respectives.
Déterminer le couple qui lors de sa promenade est en mesure de calculer le plus rapidement les neuf premières décimales de π par sommation de fractions rationnelles positives et négatives dont on donnera la liste.

Solution

Il est vrai que ce problème s'apparente plus à un jeu de piste qu'à un problème classique de géométrie dont l'énoncé décrit de manière claire et sans ambiguité les propriétés à démontrer. Avec une référence à Leibniz et son carrefour au croisement du chemin des Matheux et de la route des Séquoïas, le lecteur est invité à appliquer la formule du développement en série de l'arc tangente : atan(x) = x - x³/3+ x⁵/5 - x⁷/7 + x...Pour x = 1 on obtient ainsi la formule bien connue de la quadrature arithmétique π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 etc...qui est une approximation de π par l'addition de fractions égyptiennes positives ou négatives. Il existe d'autres valeurs de l'angle x qui permettent de calculer π de différentes manières, par exemple les angles LHA,LHB et LHC déterminés par la route des Séquoïas et les droites joignant le carrefour du Hêtre pourpre à chacune des trois maisons.