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Problèmes par thèmes

D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D1726. Trois points de rencontre remarquables

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D1726. Trois points de rencontre remarquables

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Soient un triangle ABC, O le centre de son cercle circonscrit, G son centre de gravité et H son orthocentre.
On trace les points A’,B’ et C’ symétriques de A,B et C par rapport aux droites [BC],[CA] et [AB] puis les centres U,V et W des cercles circonscrits aux triangles BOC,COA et AOB.
Q₁ Démontrer que les sommets X,Y et Z du triangle qui est l’image du triangle A’B’C’ par l’homothétie de centre G et de rapport 1/4 sont respectivement sur les côtés BC,CA et AB du triangle ABC.
Q₂ Démontrer que la droite [OH] et les droites perpendiculaires en X,Y et Z aux côtés BC,CA et AB sont concourantes en un même point N.
Q₃Démontrer que les droites [AU],[BV] et [CW] sont concourantes en un même point K qui est conjugué isogonal* de N.
Q₄ Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles AB’C’,BC’A’,CA’B’ sont concourants en un point aligné avec les points O et K.
* Nota :le conjugué isogonal du point K dans le triangle ABC est construit par symétrie des droites [KA], [KB] et [KC]par rapport aux bissectrices des angles au sommet du triangle.

Solution

Ce problème est une illustration du théorème du point de Kosnitza qui est l'isogonal du centre du cercle d'Euler dans un triangle ABC.