Voici un exercice qui s’inspire d’une énigme géométrique proposée par Pierre de Fermat en 1658, résolue par Leonhard Euler en 1747 et oubliée pendant des siècles :
Dans un repère orthonormé Oxy on trace :
 - le cercle (Γ) de centre O et de rayon r qui coupe l’axe des x aux points B et D d’abscisses respectives + r  et - r et l’axe des y au point M d’ordonnée + r,
- les points A et C sur la première bissectrice des axes Ox et Oy passant par O,le premier d’ordonnée positive et le second d’ordonnée négative, qui se projettent respectivement aux points H et K sur l’axe des abscisses,avec H à l’intérieur et K à l’extérieur du segment BD.Les segments BH et OD sont vus du même angle à partir de A et les segments KD et OB sont vus du même angle à partir de C,
- les sommets E et F du rectangle BDEF tels que E d’ordonnée < 0 est à l’intersection du cercle (Γ’) de centre D et de rayon DM avec la perpendiculaire passant par D à l’axe des abscisses, soit DE = DM = BF,
- le point U sur l’axe des abscisses entre O et B tel que OU = u. La droite [FU] coupe le cercle (Γ) en un point P d’ordonnée > 0. La droite [PE] coupe l’axe des abscisses au point V.
- le cercle de centre B et de rayon BV coupe le cercle de centre D et de rayon DU aux  points X et Y.
Q₁ Prouver que les cinq points A,B,D,X et Y sont cocyliques et que le point C est sur (Γ’)
Q₂ Avec r = 5 et u = 3,calculer les périmètres des quadrilatères ABCD et BXDY.