Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D143. Promenade dans un triangle heptagonal
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Très facile
Facile
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Variable
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figure seule.Â
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Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
| D143. Promenade dans un triangle heptagonal |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
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Le triangle heptagonal ABC a les trois angles aux sommets qui sont dans le rapport 1,2 et 4. On prend par convention le rayon du cercle circonscrit au triangle égal à 1. La promenade permet de découvrir neuf propriétés qui font aussi bien appel à la trigonométrie qu'à la géométrie. 1) Quelle est l'aire du triangle ? 2) Quelle est la somme des carrés des côtés ? 3) Quelle est la somme des carrés des inverses des côtés ? 4) Quelle est la somme des carrés des hauteurs issues des sommets A,B et C ? 5) Quel est le carré de la distance du centre du cercle circonscrit à l'orthocentre ? 6) Quel est le produit des tangentes des angles au sommet ? 7) Démontrer que le double du petit côté est la moyenne harmonique des deux autres côtés. 8) Soient P,Q et R les milieux des côtés BC,AC et AB et H,I et J les pieds des hauteurs issues de A,B et C sur les côtés BC,AC et AB. Comparer les triangles PQR et HIJ. 9) Soient D, E et F les pieds des bissectrices issues des sommets A,B et C sur les côtés BC,AC et AB. Que peut-on dire du triangle DEF ? |
