Pour décorer l’arbre de Noël chacun de mes huit petits-enfants m’a commandé une guirlande d’étoiles en papier doré faite d’un même nombre k de polygones convexes dont la forme varie selon leurs âges respectifs. La guirlande faite de k quadrilatères est destinée au plus jeune, celle faite de k pentagones au suivant... jusqu’à la dernière avec k hendécagones pour l’aîné. Je dispose d’une grande feuille rectangulaire de papier doré et d’une paire de ciseaux avec laquelle je fais des coupes exclusivement rectilignes.
J’ai deux manières d’opérer. Selon la première, je coupe la grande feuille en deux morceaux puis chacun de ces morceaux en deux et ainsi de suite. Chaque découpage s’effectue à partir d’un seul morceau de papier. Selon la seconde, avant chaque découpage je peux empiler un nombre quelconque des morceaux de papier précédemment découpés. Dans un cas comme dans l’autre, les morceaux de papier ne font l’objet d’aucun pliage.
Je calcule le nombre minimal de coups de ciseaux dans chacun des deux cas et je constate que la première manière d’opérer en réclame 238 de plus que la seconde.
Quel est le nombre d’étoiles k dans chaque guirlande ? Quels sont les formes et les nombres correspondants des morceaux de papier mis au rebut ?