Ce principe mis en évidence par le mathématicien Dirichlet, appelé en France principe des tiroirs et en anglais « pigeonhole principle », s'énonce très simplement : si on range (n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins deux objets.

Les anglophones disent : "si (n+1) pigeons se retrouvent dans un pigeonnier de n lucarnes, deux pigeons vont se retrouver nécessairement dans la même lucarne".

On peut étendre la formulation du principe en considérant un plus grand nombre d'objets : c'est ainsi que si on range (2n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins trois objets et de manière générale, si on range (kn+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins k objets, cequi peut encore s'écrire : si on range p objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra q objets, où q est la valeur entière éventuellement approchée par excès du quotient p/n.

Ci-après un recueil de différents exercices de géométrie faisant appel à ce principe très puissant.

Exercice n°1

Un point entier dans un plan rapporté à deux axes est un point dont les deux coordonnées sont entières. Démontrer que quelle que soit la façon dont on choisit les cinq points entiers dans le plan, l'un au moins des segments reliant deux points parmi les cinq passera par au moins un autre point entier du plan.

Exercice n°2

Six disques circulaires de même circonférence sont disposés dans le plan de telle sorte qu'aucun d'entre eux ne contienne le centre d'un autre. Démontrer qu'il n'existe aucun point commun à tous les disques.

Exercice n°3

Sur une table carrée de 1 mètre sur 1 mètre on dissémine 201 points. Démontrer que quelle que soit la façon de les placer sur la table, il existe toujours au moins un triangle formé par trois d’entre eux dont l’aire est inférieure ou égale à 50 cm².

Exercice n°4

On considère un cercle C de rayon 16 et une couronne circulaire A de rayon externe 3 et de rayon interne 2. Quelle que soit la façon dont on dissémine un ensemble S de 650 points à l'intérieur de C, démontrer qu'on peut placer l'anneau A sur la figure de telle sorte qu'il recouvre au moins dix points.
Sources : Martin Gardner - Pour la Science - n° d'octobre et de novembre 1980.

 D204-Solution