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D2. Géométrie plane : autres problèmes

D218. Le dodécagone de Kurschak

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D218. Le dodécagone de Kurschak

D2. Géométrie plane : autres problèmes

A partir de cette très belle mosaïque conçue par Kurschak, trouver une méthode simple pour calculer la surface du dodécagone abcdefghijkl inscrit dans un cercle de rayon unité.

Solution

Soit O le centre du dodécagone qui est en même temps le centre du cercle circonscrit à ce dodécagone. On constate que le dodécagone abcdefghijkl est pavé avec 12 triangles équilatéraux (ex : abm,bcn,?) coloriés en jaune dont les côtés a sont égaux à ceux du dodécagone et 24 triangles isocèles (ex :Oam,Obm,?) tous égaux entre eux et coloriés en vert ou rouge et dont les côtés valent respectivement 1,a et a.

Par ailleurs le carré PQRS est rempli avec 16 triangles équilatéraux de la famille abm et 32 triangles isocèles de la famille Oam.

Il en résulte que la surface du dodécagone est égale aux 12/16 = 24 /32 = 3/4 de la surface du carré PQRS. Or le côté de ce carré est égale au diamètre du cercle de centre O circonscrit au dodécagone, c'est à dire 2.

La surface du dodécagone vaut donc 3.

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