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Problèmes par thèmes

D. Géométrie

D3. Cubes, parallélépipèdes et sphères

D357. Le dé du Roi de Silla

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D357. Le dé du Roi de Silla

D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres

Problème proposé par Pierre Henri Palmade

A l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque du roi de Silla au 7ème siècle après J.C.
Ce dé comporte deux motifs : un carré reproduit sur six faces et un hexagone qui apparaît à l'identique sur huit faces. Par convention, le côté de chaque carré est égal à l'unité et les longueurs distinctes des côtés de chaque hexagone sont 1 et a.
d357

Q₁ Etablir le patron de ce dé.
Q₂ Montrer que ce dé peut être obtenu par troncature d'un polyèdre régulier dont on donnera les dimensions en fonction de a.
Q₃ Calculer la valeur de a de sorte que les aires des 14 faces soient identiques (juryeonggu traditionnel).
Q₄ Pour les plus courageux: on admet qu'après avoir lancé le dé, la probabilité pour qu'il tombe sur l'une quelconque de ses faces est proportionnelle à l'angle solide sous-tendu par cette face. Peut-on dire qu’avec le juryeonggu traditionnel la probabilité d'apparition de l'une quelconque des faces visible est toujours égale à 1/14?

Solution