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D. Géométrie

D4. Pavage du plan et de l'espace - Dissection

D4919. La mosaïque des 21 cercles

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D4919. La mosaïque des 21 cercles

D4. Pavage du plan et de l'espace - Dissection

A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.
A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).
A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (C_i),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.
On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.
Q₁ Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).
Q₂ On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (C_i),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.
Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

Solution