H137. Les points gentils - H137. Les points gentils H. Graphes et circuits... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 3

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil

Problèmes par thèmes

H. Graphes et circuits

H137. Les points gentils

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône

figure seule.

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement

H137. Les points gentils

H. Graphes et circuits

J'appelle « gentil » tout point qui se trouve exactement à l'intersection de trois droites distinctes du plan. Pour tout n supérieur ou égal à 3, je trace successivement 1,2,3,...n droites dans le plan de façon à obtenir le nombre maximum de points gentils. J'obtiens ainsi une suite non décroissante de nombres entiers dont le terme général est a(n) avec a(3) = 1, a(4) = 1, etc....
Je m'arrête quand pour la première fois l'écart entre deux termes consécutifs de la suite est égal à 4. Trouver le nombre k de droites que j'ai tracées et le nombre correspondant a(k) de points gentils.
Pour les plus audacieux : déterminer a(k+1), a(k+2),....

Nota : donner une représentation graphique des configurations obtenues pour les différentes valeurs de n allant de 3 à k.

Source : d'après olympiades suisses de mathématiques 2008.

Solution

Ce problème est difficile à traiter quand on trace une droite après l'autre pour repérer à chaque étape le nombre maximum de points gentils. A partir de n = 10,les droites forment une jungle inextricable.Le problème devient beaucoup plus abordable si on pense au problème dual des alignements de pommiers dans un verger. Voir la solution H137 - Les_points_gentils pour éclaircir cet étrange rapprochement.

Crée et hébergé par Kangourouge.com