Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q₁ : On veut relier (dans une parcelle plane) les 3 usines fournissant eau,gaz et électricité à 3 maisons, sans que des canalisations se croisent. Montrez l’impossibilité à partir de la relation de Descartes S + F − A = 2,où S est le nombre de sommets du graphe représentant ce réseau, F son nombre de faces, A son nombre d’arêtes.

Q₂ : Vous avez construit un pont pour qu’une canalisation puisse en franchir une autre. Qu’en résulte-t-il pour la quantité S+F −A? Quelles sont les nouvelles possibilités de réseau entre p usines et q maisons ?

N.B. Observez que cette adjonction d’un pont, qui a une certaine épaisseur,équivaut à souder un tube en forme d’anse sur la surface de départ, plane ou sphérique, produisant une surface équivalente (homéomorphe) à un tore.

Q₃ : Au lieu de construire un pont pour éviter un chevauchement, vous avez pratiqué dans la parcelle une coupure, recollée après vrillage d’un demi-tour. Qu’en résulte-t-il pour la quantité S +F −A? Quelles sont les nouvelles possibilités de réseau entre p usines et q maisons ?

Jean Moreau de Saint Martin a résolu le problème.