Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q₁ : Zig fait de la poterie et a offert à Puce un vase avec deux grosses anses. Puce a commencé à le décorer et voudrait que chaque tache de  couleur soit bordée d'au moins 8 autres. Peut-il y arriver ?
N.B. Ajouter une anse réduit de 2 unités la caractéristique d'Euler-Descartes de la surface X =S+F-A (où S est le nombre de sommets du graphe représentant ce réseau, F son nombre de faces, A son nombre d'arêtes), puisqu'on remplace deux faces (les zones d'appui de l'anse) par l'anse, qui équivaut à une face et une arête (la soudure de cette face qui permet d'en faire un tube).

Q₂ : Puce a tracé un graphe (sans croisement d'arêtes) sur une surface de caractéristique X. Qu'en résulte-t-il pour d, plus petit degré des sommets (chaque sommet a au moins d voisins) ? Pour le nombre de
couleurs que peut demander une carte de géographie tracée sur cette surface ?

Solution de Jean Moreau de Saint Martin