Avertissement
Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :
Très facile
Facile
Moyen
Difficile
Très difficile
Variable
D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône 
Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône 
Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.
figure seule.
Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.
Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
Avertissement
| H154. Randonnées bourbonnaises (3ième épisode) |
 |
 |
| H. Graphes et circuits |
|
Les bourgs de Mayet-de-Montagne dans la Montagne bourbonnaise et de Saint-Pourçain-sur-Sioule dans la Limagne bourbonnaise envisagent de créer deux réseaux de sentiers de randonnée pédestre reliant six hameaux dans l'un et sept hameaux dans l'autre. Le cahier des charges donné à l'entreprise chargée d'aménager ces deux réseaux est le suivant:
- il y a cinq sentiers dans le réseau de Mayet-de-Montagne et six sentiers dans celui de Saint-Pourçain-sur -Sioule, - chaque sentier relie deux hameaux distincts et deux sentiers quelconques ne se croisent jamais, - pour aller d’un hameau à un autre,on peut passer éventuellement par un ou plusieurs autres hameaux, - à l'intérieur d'un réseau, les longueurs des sentiers s’expriment en nombres entiers de kilomètres tous distincts et les longueurs de tous les parcours reliant les hameaux pris deux à deux prennent toutes des valeurs entières consécutives de kilomètres. Démontrez que pour respecter ce cahier des charges, l'entreprise ne peut installer un réseau que dans un seul bourg. Donnez en une représentation graphique avec les longueurs correspondantes des sentiers. Justifiez vos réponses.  Jean-Louis Legrand et Pierre Bornzstein ont résolu le problème qui à été donné en 1986 aux Olympiades de mathématiques de l'URSS (source: cours de la théorie des graphes de Pierre Bornzstein) |
