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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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H160. A la chaîne et en boucle

H. Graphes et circuits

On considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2,3,5,….,227,229.
Q₁ Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distincts p₁,p₂,..,p₁₀ choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2p_i et du suivant p_i+1 est un carré parfait m²_i pour i = 1,2,..,9 (i.e 2p_i + p_i+1 = m²_i)
Pour les plus courageux : déterminer la plus longue suite de k nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que 2p_i + p_i+1 = m²_i pour i = 1,2,…,k – 1.

Q₂Prouver qu’on sait trouver huit nombres premiers distincts q₁,q₂,..,q₈ choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2q_i et du suivant q_i+1 est un carré parfait n_i² pour i = 1,2,..,8 (i.e 2p_i + p_i+1 = n²_i et par convention, p₉ = p₁)
Pour les plus courageux : déterminer le plus grand nombre possible k de nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que 2p_i + p_i+1 = n²_i pour i = 1,2,…,k avec par convention p_k+1 = p₁.

Solution